如图4,在三角形abd中,bd=a,ad=b,以ab为边向外做等边三角形abc,试问：当角adb为多少度时cd两点间距离最大?

Question

如图4,在三角形abd中,bd=a,ad=b,以ab为边向外做等边三角形abc,
试问：当角adb为多少度时cd两点间距离最大?

Answer 1

120°
设BC=AC=AB=x,CD=c
由托勒密不等式得.
在四边形ADBC中.
AC·BD+AD·BC≥AB·CD
当A.D.B.C共圆时等号成立.
又BC=AC=AB=x,BD=a,AD=b
上式转化为
ax+bx≥cx
当且仅当等号成立时,
c取最大值a+b
等号成立时A.B.C.D共圆.
则对角互补,∠ACB+∠ADB=180°
又等边△ABC,∠ACB=60°,
故∠ADB=120°.