在RT三角形ABC中,角C=90度角B=30度BC=4左右平移等边三角形DEF的两个顶点E、F,始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H,当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上1.求三角形DEF的边长2.在三角形DEF做平

Question

在RT三角形ABC中,角C=90度 角B=30度 BC=4 左右平移等边三角形DEF的两个顶点E、F,始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H,当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上
1.求三角形DEF的边长
2.在三角形DEF做平行移动的过程中,图中是否存在与线段CF始终相等的线段?若存在,请指出哪条
3.假设点C与点F的距离为X,三角形DEF和三角形ABC的重叠部分面积为Y,求Y与X的函数解析式和定义域

Answer 1

1 【解】因为当F与C点重合的时候,D正好在斜边AB上,因此可以通过此时两个
三角形的关系求出三角形DEF的边长.
当D在斜边AB上的时候,已知三角形DEF为等边三角形,所以∠EFD(此
时也就是角ECD）=60度,又角C为直角,所以角DCA（也是∠DFA)=30度
角B=30度,所以角A=60度,BC=4,所以AC=4/根号3,AB=8/根号3
已得角DFA=30度,所以可知,DC（此时候也就是DF）=DE=CE=2
所以等边三角形DEF的边长为2 【解毕】
2 【解】FC=BC-BF=BC-EF-BE,又显然可得,BE=EG,又BC=4,EF=ED=FD=2,所以FC=2-EG,因此,FC恒等於GD【解毕】
3 【解】首先由於E,F始终在BC上移动,且DEF为等边三角形,所以显然可
知FD垂直于BA（因为角DFE=60度,过F做平行於AC的直线交AB于O,
则显然角DFO=30度,角FOH=60度,所以角FH0=90度,所以FD垂直于
AB）
情况1： E点于B点重合,则重合面积就是直角三角形FHB的面积,所以Y=根
号3/2,x=2
情况2： E,F点位异於B,C的点,由2知道GD=FC=x,又角HGD=角EGB=角
EBG=30度,所以,HD=1/(2x),GH=根号3/(2x),所以三角形GHD的面
积是根号3/(8x),又三角形DEF的面积是根号3,所以Y=DEF的面积-
GHD的面积=7乘以根号3/(8x),0