如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形

Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²．
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-(1)/(4)x²．（5分）
所以梯形ADNM的面积S=(AM+DN)/(2)×AD=(AM+AF)/(2)×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-(1)/(4)x²）+x
=-(1)/(2)x²+x+2
即所求关系式为s=-(1)/(2)x²+x+2．（8分）
（2）s=-(1)/(2)x²+x+2=-(1)/(2)（x²-2x+1）+(5)/(2)=-(1)/(2)（x-1）²+(5)/(2)
故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是(5)/(2)．