怎样证明三角形的三条垂直平分线相交于一点.

Question

怎样证明三角形的三条垂直平分线相交于一点.

Answer 1

一、探索并证明线段垂直平分线的有关结论．
1．复习线段垂直平分线的作图并探索它的性质．
让学生画出线段AB的垂直平分线MN,在MN上任取一点P,连结PA和PB．问PA,PB的长度有何关系?怎样用语言叙述它?如何证明?
教师纠正后得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
2．教师分析定理的使用方法和作用．
（1）根据图形会用数学表达式进行推理．如图3-132,若MN为线段AB的垂直平分线,P点在MN上,则PA=PB．
缺图3-132
　　（2）利用定理可不经全等直接得到有关线段相等,也可当作等腰三角形的一种判定方法来使用.
3．类比联想,探索线段垂直平分线的其它结论．
启发学生联想学过的类似角平分线的性质“角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”及研究方法,逆向探索线段垂直平分线的性质定理的逆命题是否成立,并进行证明．
（1）反过来,和一条线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．
如图3-132,若PA=PB,则P在AB的垂直平分线上．　　教师应着重分析证明思路：过P做辅助线先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明它满足另一个．注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误．
（2）由线段垂直平分线的性质定理和逆定理得到线段垂直平分线的集合叙述方式：线段的垂直平分线可看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（3）与角平分线的性质定理和逆定理对比：
①两者所涉及的距离不同．
②角的平分线是射线,由角的顶点和“到角的两边距离相等的一点”即可确定；而线段的垂直平分线是直线,由“和线段两端距离相等的两点”确定．防止出现以下错误：
在图 3-132中,∵ PA=PB,∴PN垂直平分AB．
二、应用举例
例1已知：如图 3-133,△ABC中,边 AB,BC的垂直平分线交于P．求证：（1）PA＝PB= PC；（2）P在边AC的垂直平分线上．
教师引导学生总结出以下结论：
（1）三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这点到三个顶点的距离相等；
（2）找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法是找两边垂直平分线的交点．
例 2已知：如图 3－134,△ABC中,AB＝ AC＝ 8 cm,∠A=50°,AB的垂直平分线MN分别交 AB于D,交 AC于E,BC ＝ 3 cm．求：（1）∠EBC的度数；（2）△BEC的周长．
答案：∠EBC=15°,△BEC的周长为11 cm．
　　　例3如图3-135．Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD平分∠CAB交BC于D．求证：（1）D在AB的垂直平分线上；（2） CD＝12BD．
　　　例4（选用）如图3－136（a）,△ABC中,AD⊥BC于D,AB＋ BD＝DC．求证：∠B ＝2∠C．
　　　分析：此题需添加辅助线将线段之和AB＋BD或线段之差DC－BD转化为一条完整线段,再结合AD⊥BC,可利用线段的垂直平分线来实现．
证法一（补短法）延长 DB到E,使 BE＝AB,则 AB＋BD＝ DE,利用线段 CE的垂直平分线AD的性质解决,如图3-１36（b）．
证法二（截长法）在 DC上截取DE＝ DB,则 DC－BD＝ DC－DE＝EC＝ AB．利用线段BE的垂直平分线AD的性质解决,见图3-136（c）．
三、师生生共同小结
1．线段的垂直平分线的性质定理、逆定理分别怎样叙述?
2．线段的垂直平分线可看成符合什么条件的点的集合?
3．应注意的问题：
（1）尽量不再证明全等,直接使用性质定理和逆定理来解决问题；
（2）需要和一条线段的两个端点距离相等的两个点,才能确定这条线段的垂直平分线．
四、作业
课本第87页第2题,第95页第2,3,4题,第97页B组第2题．
补充题：
1． 如图3-137,在△ABC中,AB=AC,∠A＝8０°ＡB的垂直平分线MN交AC的延长线于D．求∠DBC的度数．
2．如图3－138,在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA延长线于E．求证：∠EAB＝∠EBC．
课堂教学设计说明