用秦九韶算法求n次多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a，当x=x时，求f（x）需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A．B．n，2n，nC．0，2n，nD．0，n，n

Question

用秦九韶算法求n 次多项式f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a，当x=x时，求f（x）需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）
A．
B．n，2n，n
C．0，2n，n
D．0，n，n

Answer 1

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v₁=a_nx+a_n-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v₂=v₁x+a_n-2 v₃=v₂x+a_n-3…v_n=v_n-1x+a₁ 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．
【解析】
f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a=（a_nx^（n-1）+a[n-1]x^（n-2）+…+a[1]）x+a[0]
=（（a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+…+a₂）x+a₁）x+a
=…
=（…（（a_nx+a_n-1）x+a_n-2）x+…+a₁）x+a．
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，
即 v₁=a_nx+a_n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v₂=v₁x+a_n-2 v₃=v₂x+a_n-3…
v_n=v_n-1x+a₁
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．
∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法
故选D