计算下列4阶行列式第一题：4010120225100010第一题：4010120225100010第二题：a1...11a...1............11...a“...”为省略号

Question

计算下列4阶行列式 第一题：【4 0 1 0】【1 2 0 2】【2 5 1 0】【0 0 1 0】
第一题：【4 0 1 0】【1 2 0 2】【2 5 1 0】【0 0 1 0】
第二题：【a 1 ...1】【1 a ...1】【............】【1 1 ...a】
“...”为省略号

Answer 1

第一题只要按照最后一行展开,容易求出等于40
第二题,假设矩阵是n行n列的方阵,行列式值是Dn
将所有行都加到第一行
那么第一行变成a+(n-1),a+(n-1),...,a+(n-1).
i)如果a=-(n-1),那么行列式值是0
ii)否则,将第一行从行列式中提出
那么Dn=(a+(n-1))D
D是把原来的行列式第一行全变成1,后面的行都不变的行列式.
第一行乘以-a加到第二行,第二行变成0,a-1,0,...,0
第一行乘以-a加到第三行,第三行变成0,0,a-1,...,0
...
第一行乘以-a加到第n行,第n行变成0,0,0,...,a-1
这样D就是一个上三角矩阵,行列式值是对角线元素的乘积,
D=(a-1)^(n-1)
所以行列式值Dn=(a+(n-1))(a-1)^(n-1)
n是行列式的阶数