求四阶行列式1111,12-12,1411,18-127.的值.老师我没分了你可以帮帮我吗

Question

求四阶行列式1 1 1 1,1 2 -1 2,1 4 1 1,1 8 -1 27.的值.老师我没分了你可以帮帮我吗

Answer 1

1 1 1 1
1 2 -1 2
1 4 1 1
1 8 -1 27

第一感觉这是范德蒙行列式的变形
D=
1 1 1 1+0
1 2 -1 3-1
1 4 1 9-8
1 8 -1 27+0
行列式按第4列分拆为2个行列式的和: D1+D2
D1 = (2-1)(-1-1)(3-1)(-1-2)(3-2)(3+1) = 48
D2=
1 1 1 0
1 2 -1 -1
1 4 1 -8
1 8 -1 0

r3-8r2
1 1 1 0
1 2 -1 -1
-7 -12 9 0
1 8 -1 0

按第4列展开 (-1)*
1 1 1
-7 -12 9
1 8 -1
= 102.
所以D = 48+102 = 150.

换个方法
1 1 1 1
1 2 -1 2
1 4 1 1
1 8 -1 27

r4-r3,r3-r2,r2-r1
1 1 1 1
0 1 -2 1
0 2 2 -1
0 4 -2 26

r4-2r3,r3-3r2
1 1 1 1
0 1 2 1
0 0 6 -3
0 0 -6 28

r4+r3
1 1 1 1
0 1 2 1
0 0 6 -3
0 0 0 25

= 1*1*6*25 = 150