如何求绝对值不等式?最好图说,举例子.

Question

如何求绝对值不等式?
最好图说,举例子.

Answer 1

如：|x^2-5x+5|<1
首先做草图是必不可少的了,要点有图像与坐标轴的交点、最值点、曲线的凹向等,需要准确标记(就解题需要,不必要的点不标记也可).这样的方程实际上是焦点的求解问题.右侧若为数字,则直接画出,即可判断解集的分布情况,然后再解出交点的x值；如果右侧也为二次函数则需通过x^2的系数的比较和定点的关系判断是否有交点系数越大图形越瘦、开口越窄,若开口窄的在下,则必有两个交点,若开口宽的在上就要看具体情况了,至于曲绝对值后翻上来的图形与后者的交点,与上述判断方法相似；如果右侧为一次函数,一般都较好判断是否有交点,出较为接近的一部分,一般用导数法（导数高二或高三会学）求出两侧斜率相等的点的函数值的大小关系,其他的方法大部分都是对于具体问题的.
不过除了个别特殊的不等式,其实将绝对值符号去掉后分成两个不等式分别求解再取交集也并不麻烦.在Δ<0时,显然好解,用课内的基本知识就可以解决,在Δ>0时,化成(x-a)(x-b)>0(或<0)的形势,用穿线法(课内应该教过,若不会可在百度上给我发消息,再具体解释)解决就可以了.
比如此题：(1)用图像法,标出图像上的(0,5)(2.5,1.5)即可,再画出直线y=1,于是显然有4个交点分别解x^2-5x+5=1和-x^2+5x-5=1,得x=1,2,3,4,再结合图像得解集为(1,2)并(3,4)
(2)用穿线法：先化为两个不等式(x-1)(x-4)<0；(x-2)(x-3)>0
由穿线法得解集(1,4)∩[(-∞,2)并(3,+∞)=(1,2)并(3,4)
另外,在画图时,也可把左边不带绝对值号函数图像直接画上,把右边的函数图像(记为C)画完后在做一个与C关于x轴对称的图像,然后求解方法相似