怎样简单的判断线性相关和线性无关?

Question

怎样简单的判断线性相关和线性无关?

Answer 1

一、 定义与例子 :定义 9.1 对向量组 ,如果存在一组不全为零的数 ,使得 那么,称向量组 线性相关.如果这样的 个数不存在,即上述向量等式仅当 时才能成立,就称向量组 线性无关.含零向量的向量组 一定线性相关 ,因为 其中,不全为零.只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 ,线性相关的充分必要条件是 .考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ,或 ,其中 .由此可见,向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解.也就是说,向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解.例1 向量组 是线性无关的 .设有 使 ,即 ,得齐次线性方程组 .解此方程组得 ,所以向量组 线性无关.例2 设向量组 线性无关,又设 ,证明向量组 也线性无关.证明:设有 使 ,即 ,因为 线性无关,故有 此线性方程组只有零解 ,也即向量组 线性无关.定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 .证明:必要性 设 线性相关,即存在一组不全为零的数 ,使得 .不妨设 ,则有 ,即 可以由其余 个向量 线性表示.其实,在向量等式 中,任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 .充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 .不妨设 ,则 ,因为 不全为零,所以 线性相关.二、向量组线性相关和线性无关判别定理 :设矩阵 的列向量组为 ,矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理:定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性.证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线性相关性.定理 9.3 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关.证明 :向量组 线性相关,即存在不全为零的数 使 ,于是 ,但是 ,仍不全为零,因此,向量组 线性相关.推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.定理 9.5 设有 维向量组 与 维向量组 如果向量组 线性无关,那么,向量组 也线性无关.推论 9.6 维向量组的每一个向量添加 个分量成为 维向量.如果 维向量组线性无关,那么,维向量组也线性无关.反言之,如果 维向量组线性相关,那么,维向量组也线性相关.定义 9.2 在 型的矩阵 中,任取 行 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式,称为矩阵 的 阶子式.型矩阵 的 阶子式共有 个.定理 9.7 设 维向量组 构成矩阵 则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式.推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零.推论 9.9 当 时,个 维向量 必线性相关.思考题：1、 举例说明下列各命题是错误的 (1) 若向量组 线性无关,则 可由 线性表示; (2) 若有不全为零的数 使 则 线性相关,也线性相关; (3) 若只有当 全为零时,等式 才能成立 线性无关,也线性无关; (4) 若 线性相关,也线性相关,则有不全为零的数 ,使 同时成立.2、 判断下列向量组是否线性相关 :(1) ; (2) ; (3) ; (4) .3． 设向量组 线性无关,讨论向量组 的线性相关性 .4、 设向量组 线性无关,线性相关,则 必可由向量组 线性表示.5 、选择题 (1) 维向量组 线性无关的充分必要条件是 A.存在一组不全为零的数 ,使 ; B.中任意两个向量都线性无关 ; C.中存在一个向量 ,它不能由其他向量线性表示 ; D.中任意一个向量都不能被其他向量线性表示 .(2) 已知向量组 线性无关,则向量组 A.也线性无关; B.也线性无关; C.也线性无关; D.也线性无关.(3) 设有任意两个 维向量组 与 .如果存在两组不全为零的数 与 使 则 A.与 .线性相关; B.与 .线性无关; C.线性无关; D.线性相关.