如图甲所示，与x轴成45°角的虚线OM和EF以及弹性挡板GH把坐标系的第一象限和第四象限分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内均有理想边界的垂直纸面向外的匀强磁场，区

Question

如图甲所示，与x轴成45°角的虚线OM和EF以及弹性挡板GH把坐标系的第一象限和第四象限分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内均有理想边界的垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅳ为真空，若不断有初速度为零且(q)/(m)=10³C/kg的带正电粒子经过图乙所示电压加速后，由P点垂直x轴方向进入 I区域，已知B₁=B₃=1T，B₂=0.5T，OP=0.4m，EF和GH间的水平距离为d=0.16m．不计带电粒子的重力和粒子之间的相互作用，求：

（1）带电粒子在 I区域里运动的最大轨道半径；
（2）带电粒子从P点出发到第一次离开Ⅱ区域所用的最短时间；
（3）若带电粒子与弹性板GH相碰后速度大小和电量不变，碰撞前后速度方向与弹性板GH夹角相等，则第一次进入Ⅲ区域的带电粒子从EF边界离开磁场时出射点到进入点的距离l的取值范围．

Answer 1

（1）设带电粒子由P点进入Ⅰ区域时的速度为v，由动能定理得：
qU=(1)/(2)mv2…①
由乙图知5V≤U≤20V…②
联立①②并带入数据解得：100m/s≤v≤200m/s…③
粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得：
Bqv=m(v2)/(R)…④
由④式知，当v=200m/s时粒子在Ⅰ区域运动半径最大，设为R_m，带入数据解得：
R_m=0.2m…⑤，
（2）依题意有B₁=2B₂，由④式可知，带电粒子在Ⅱ区域的轨道半径是Ⅰ区域轨道半径的2倍，由几何关系知，进入Ⅱ区域的粒子将由P点正上方同一Q点沿水平方向离开Ⅱ区域经Ⅳ区域进入Ⅲ区域，如答图甲所示：
由图可知，当v=200m/s时，由⑤式可知，带电粒子从P点出发经O点进入Ⅱ区域，到第一次粒子Ⅱ区域所用的时间最短为：t=t₁+t₂…⑥，
其中t₁为粒子在Ⅰ区域的运动时间为：t1=(T1)/(2)…⑦，
t₂为粒子在Ⅱ区域的运动时间为：t2=(T2)/(4)⑧，
T₁、T₂分别为带电粒子在Ⅰ区域和Ⅱ区域的运动周期，而粒子在磁场中运动的周期为：T=(2πR)/(v)…⑨，
由④⑨式得：T1=(2πm)/(qB1)，T2=(2πm)/(qB2)…（10），
联立⑥⑦⑧（10）式并带入数据解得：t=6.18×10^-3s…（11）
（3）由（2）可知，所有粒子将从EF边界的同一点A进入Ⅲ区域，如答图乙所示，由③④式可知，
粒子在Ⅲ区域运动的轨道半径范围为：0.1m≤R≤0.2m…（12），
当运动轨迹刚好与GH相切时，粒子向下运动最远，此时半径R=0.16m，粒子到达最远，有：AC=2R=0.32m…（13），
当粒子轨道半径最小时，有：AD=2R_n=0.20m…（14），
当粒子轨道半径最大时，与弹性板GJ相碰于N点，由几何关系得：
AK=Rm-√(Rm2-d2)=0.08m…（15），
根据对称性可知，粒子反弹后交EF于S点，所以有：AS=2AK=0.16m<AD=0.2m…（16），
因此，第一次进入Ⅲ区域的带电粒子从EF边界离开磁场时出射点到进入点的距离范围为：0.16m≤l≤0.32m．
答：（1）带电粒子在 I区域里运动的最大轨道半径为0.2m；
（2）带电粒子从P点出发到第一次离开Ⅱ区域所用的最短时间为6.18×10^-3s；
（3）第一次进入Ⅲ区域的带电粒子从EF边界离开磁场时出射点到进入点的距离l的取值范围为0.16m≤l≤0.32m．