如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中B(2,0),角AOB=60度,点A在第一象限,过点A的双曲线为

Question

如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中B(2,0),角AOB=60度,点A在第一象限,过点A的双曲线为

Answer 1

、（2011��金华）如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B（2,0）,∠AOB=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为 ．在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O��B��．
（1）当点O��与点A重合时,点P的坐标是　（4,0）　；
（2）设P（t,0）,当O��B��与双曲线有交点时,t的取值范围是　4≤t≤ 或 ≤t≤﹣4　．
考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.
专题：计算题.
分析：（1）当点O��与点A重合时,即点O与点A重合,进一步解直角三角形AOB,利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°,得到OM= t,OO′=t,过O′作O′N⊥X轴于N,∠OO′N=30°,求出O′的坐标,同法可求B′的坐标,设直线O′B′的解析式是y=kx+b,代入得得到方程组 ,求出方程组的解即可得到解析式y=（ ）x﹣ t2+ t,求出反比例函数的解析式y= ,代入上式整理得出方程（2 t﹣8 ）x2+（﹣ t2+6 t）x﹣4 =0,求出方程的判别式b2﹣4ac≥0,求出不等式的解集即可．
（1）当点O��与点A重合时
∵∠AOB=60°,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O��B��．
AP′=OP′,
∴△AOP′是等边三角形,
∵B（2,0）,∴BO=BP′=2,∴点P的坐标是（4,0）,
故答案为：（4,0）．
∵∠AOB=60°,∠P′MO=90°,
∴∠MP′O=30°,
∴OM= t,OO′=t,
过O′作O′N⊥X轴于N,
∠OO′N=30°,
∴ON= t,NO′= t,
∴O′（ t,t）,
同法可求B′的坐标是（ ,t﹣2 ）,
设直线O′B′的解析式是y=kx+b,代入得； ,
解得：,
∴y=（ ）x﹣ t2+ t,
∵∠ABO=90°,∠AOB=60°,OB=2,
∴OA=4,AB=2 ,
∴A（2,2 ）,代入反比例函数的解析式得：k=4 ,
∴y= ,代入上式整理得：（2 t﹣8 ）x2+（﹣ t2+6 t）x﹣4 =0,
b2﹣4ac= ﹣4（2 t﹣8 ）��（﹣4 ）≥0,
解得：t≤2 t≥﹣2 ,
∵当点O��与点A重合时,点P的坐标是（4,0）
∴4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤4,
故答案为：4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤4．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式,勾股定理,解二元一次方程组,解不等式,含30度角的直角三角形的性质,三角形的内角和定理,根的判别式等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度．