如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验探究：（Ⅰ）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验探究：
（Ⅰ）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出坐标B′___、C′___；
归纳发现；
（Ⅱ）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为___（不必证明）；
（Ⅲ）已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
（Ⅳ）若在x轴上有一点M，在直线l上有一点N，使得△BMN的周长最小，求点M和点N的坐标．（直接写出答案即可）

Answer 1

（Ⅰ）如图，由点关于直线y=x轴对称可知，B′（3，5），C′（5，-2）．
故答案是：（3，5），（5，-2）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可知，
坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （b，a）；
故答案是：（b，a）；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D′的坐标为（-3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小  
设过D′（-3，1）、E（-1，-4）的设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-3k+b=1

-k+b=-4

，
∴

k=-(5)/(2)

b=-(13)/(2)

，
∴y=-(5)/(2)x-(13)/(2)．
由

y=-(5)/(2)x-(13)/(2)

y=x

，得

x=-(13)/(7)

y=-(13)/(7)

，
∴所求Q点的坐标为（-(13)/(7)，-(13)/(7)）；

（Ⅳ）如图，过点B′作B′M⊥x轴于点M，B′M与直线y=x的交点即为所求的点N．
所以M（3，0），N（3，3）．