已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．（1）求点C1到平面AB1D1的距离；（2）（理）求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角（结果用反三角函数值表示）．（文）E为棱CD的中点，求异面直线BE与AD1所成

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
（1）求点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）（理）求平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角（结果用反三角函数值表示）．
（文）E为棱CD的中点，求异面直线BE与AD₁所成的角．

Answer 1

解  （1）分别以AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a），
∴

C1A

=（-a，-a，-a），

AD1

=（0，a，a），

AB1

=（a，0，a）．
设

n

=（x，y，z）是平面AB₁D₁的一个法向量，
可得√(n•AD1＝ay+az＝0作业帮用户2017-10-12问题解析（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，可得向量C1A、AD1、AB1的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出平面AB1D1的一个法向量是n=（1，1，-1）．再利用点到平面的距离公式加以计算，即可得出点C1到平面AB1D1的距离；（2）（理）根据正方体的性质得AD⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1的一个法向量是m=（0，1，0），结合n=（1，1，-1）是平面AB1D1的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出m、n的夹角余弦，即可得到平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角大小；（文）计算出E的坐标，从而得到BE=（-(1)/(2)a，a，0），结合AD1=（0，a，a）利用空间向量的夹角公式算出BE、AD1夹角的余弦值，即可求出异面直线BE与AD1所成角的大小．名师点评本题考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．考点点评：本题在正方体中求点到平面的距离、异面直线所成角和二面的平面角．着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究线线角、面面角和空间点到平面距离的求法等知识，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)