（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：Cα-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）由Cα-β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Question

（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：C _α-β ：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）由C _α-β 推导两角和的正弦公式S _α+β ：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，
作一单位圆，再以原点为顶点，
x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点P ₁ （cosα，sinα），P ₂ （cosβ，sinβ），…（4分）
即有两单位向量

O P 1

，

O P 2

，
它们的所成角是|α-β|，
根据向量数量积的性质得：

O P 1

•

O P 2

=cos(α-β)=cos|α-β |①
又根据向量数量积的坐标运算得：

O P 1

•

O P 2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…（9分）
（2）sin（α+β）=cos（ (π)/(2) -α-β)=cos[((π)/(2) -α)-β ]…（11分）
=cos[（ (π)/(2) -α)cosβ+sin((π)/(2) -β]…（13分）
=cos（ (π)/(2) -α ）cosβ+sin（ (π)/(2) -α ）sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
即有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（15分）