已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx，（ω＞0），若函数f（x）的最小正周期为π2．（1）求ω的值，并求函数f（x）的最大值；（2）若0＜x＜π16，当f（x）=62时，求1+tan4x1−tan4x的值．

Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx，（ω＞0），若函数f（x）的最小正周期为(π)/(2)．
（1）求ω的值，并求函数f（x）的最大值；
（2）若0＜x＜(π)/(16)，当f（x）=(√(6))/(2)时，求(1+tan4x)/(1−tan4x)的值．

Answer 1

（1）f(x)＝2sinωxcosωx+cos2ωx−sin2ωx＝sin2ωx+cos2ωx＝√(2)sin(2ωx+(π)/(4))…（2分）
因为函数f（x）的最小正周期为(π)/(2)，所以T＝(2π)/(2ω)＝(π)/(2)，即ω=2…（3分）
此时f(x)＝√(2)sin(4x+(π)/(4))，所以f（x）的最大值为√(2)．…（5分）
（2）当f(x)＝(√(6))/(2)时，即f(x)＝√(2)sin(4x+(π)/(4))＝(√(6))/(2)，
化简得sin(4x+(π)/(4))＝

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求ω的值，通过正弦函数的最大值求函数f（x）的最大值；
（2）利用0＜x＜(π)/(16)，以及f（x）=(√(6))/(2)，求出sin(4x+(π)/(4))，4x+(π)/(4)的值，然后求(1+tan4x)/(1−tan4x)的值

名师点评

本题考点：

三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

考点点评：

本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角与两角和的正弦函数的应用，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．

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