a×b+a+2b=30,a,b>0求a×b的最大值如果用原式=30>=a*b+2（根号下2ab）能求出a,b的值,但首先这样用就触犯了基本不等式的使用条件“定”（积或和）,但为什么能这样用?如果这样用是错的,

Question

a×b+a+2b=30,a,b>0求a×b的最大值
如果用原式=30>=a*b+2（根号下2ab） 能求出a,b的值,但首先这样用就触犯了基本不等式的使用条件“定”（积或和）,但为什么能这样用?
如果这样用是错的,

Answer 1

30≥ a*b+2√2 √ab
设 √ab = t
30 ≥ t^2 + 2√2 t
32 ≥ (t + √2)^2
4√2 ≥ t + √2
t ≤ 3√2
ab ≤ 18
最大值时的 a b 值
ab = 18
ab + a + 2b = 30
ab = 18
a + 2b = 12
(12 - 2b)b = 18
(6 -b)b = 9
b^2 - 6b + 9 = 0
b = 3
a = 6
再补充 初等数学方法 求 Y(a) 极值
Y = (30a - a^2)/(a+2)
对分子进行变换,变换成 含 a+2
30a - a^2 = 30a - (a+2)^2 + 4a + 4 = 34a - (a+2)^2 + 4
= 34(a+2) - (a+2)^2 -64
Y = 34 - [ (a+2) + 64/(a+2)]
这回 中括号内 符合你信仰的 定积 条件了.
往下你自己会了