设A（a1,a2,a3...）为是实矩阵,证明|Det（A）|小于等于a1列各元素平方和的1/2乘a2列证明|Det（A）|小于等于a1列各元素平方和的1/2乘以a2列各元素平方和的1/2乘以.an列各元素平方和的1/2

Question

设A（a1,a2,a3...）为是实矩阵,证明|Det（A）|小于等于a1列各元素平方和的1/2乘a2列
证明|Det（A）|小于等于a1列各元素平方和的1/2乘以a2列各元素平方和的1/2乘以.an列各元素平方和的1/2

Answer 1

只要证明对称正定矩阵的行列式小于等于对角线元素的乘积即可.
1.先看原问题,如果A奇异,那么结论显然.如果A非奇异,那么其实就是要证明det(A'A) <= prod(diag(A'A)).
2.如果B是对称正定矩阵,把B写成分块形式
B=
b u'
u C
其中b是一个正数,那么det(B) = b*det(C-uu'/b).
uu'/b是半正定阵,因此C-uu'/b的特征值不超过C的特征值,于是
det(C-uu'/b) <= det(C)
再对C用归纳假设即得det(B) <= prod(diag(B)).