基本不等式中什么时候需要"积"或者"和"一定才能求解题目?有一种题是：求X(3-3X)的最大值.把原式化为3x（3-3x）再除以3,是为了让3x+3-3x为定值3,再利用基本不等式求解.还有一种题是：已知x

Question

基本不等式中什么时候需要"积"或者"和"一定才能求解题目?
有一种题是：求X(3-3X)的最大值 .把原式化为3x（3-3x）再除以3 ,是为了让3x+3-3x为定值3,再利用基本不等式求解.
还有一种题是：已知x²+y²+xy=1,求xy的最大值.x²+y²≥2xy,所以1≥3xy,所以xy的最大值为1/3.可是x²+y²和2xy都不是定值啊,怎么能直接用基本不等式呢,如果不一定非得有定值,那第一个题为什么还要配成定值.
资料上的知识点中给出基本不等式时,只说了条件为a、b＞0,当且仅当a=b时等号成立.而后面说利用基本不等式求最值时什么积定求和……,和定求积……（具体句子我忘了）.做题时有些非得是定值时才能做,有的又是随便,直接做就行,那到底什么时候需要是定值时才能做,什么时候根本不用管?
再举一个题：求1/a+1/b+2√ab的最小值.原式=（a+b）/ab+2√ab ≥ 2√ab/ab+2√ab=2 / √ab+2√ab≥4所以最小值为4,这个题用了两次基本不等式,第一次a+b和ab都不是定值,用了,第二次,2 / √ab+2√ab乘积是定值4,也用了基本不等式,真是彻底把我弄晕了,到底那个和定,积定是什么时候用啊,不是定值不是也能算吗,到底怎么回事?

Answer 1

你的问题好深刻.
“和定积有最大值,积定和有最小值”,这是对基本不等式的直接运用.实际上,在进行不等变形时,不论是用几次基本不等式,只要能使每一步取“=”的条件都相同,才是关键.
当然了,如果是求最值,最后一步必然是常数.
举个例子.
已知：a≥0,b≥0,且a+b=1,求a²+b²的最小值.
错由基本不等式,得
a²+1≥2a （1）
b²+1≥2b （2）
两式相加,得 a²+b²+2≥2(a+b)=2,所以a²+b²≥0,
即 a²+b²的最小值为0.
这显然是错误的,原因是：（1）（2）两个不等式根本不能同时取“=".
正确解法有多种.仍按上面的解法,做一种吧.
由基本不等式,得
a²+(1/2)²≥a （1）
b²+(1/2)²≥b （2）
两式相加,得 a²+b²+1/2≥a+b=1,所以a²+b²≥1/2,
从而当且仅当a=b=1/2时, a²+b²的最小值为1/2.