（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的

Question

（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝(k)/(x)（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数y＝(k)/(x)（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，

∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．…（3分）
∵点M在y=(k)/(x)上，
∴k=1×4=4．…（4分）
（2）存在．
过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（a，1）在反比例函数y＝(4)/(x)（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．…（5分）
∵N与N₁关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N₁的坐标为（4，-1）．…（7分）
设直线MN₁的解析式为y=kx+b．
由

4＝k+b

−1＝4k+b.

解得k=-(5)/(3)，b=(17)/(3)．…（9分）
∴直线MN₁的解析式为y＝−(5)/(3)x+(17)/(3)．
令y=0，得x=(17)/(5)．
∴P点坐标为（(17)/(5)，0）．…（10分）