求证:数711.1288.89(其中1的个数与8的个数均为n-1)是一个完全平方数

Question

求证:数711.1288.89(其中1的个数与8的个数均为n-1)是一个完全平方数

Answer 1

证：
711.1288.89
=9+8×[10+10²+...+10^(n-1)]+2×10ⁿ+1×[10^(n+1)+10^(n+2)+...+10^(2n-1)]+7×10^(2n)
=9+80×[10^(n-1) -1]/(10-1) +2×10ⁿ+10^(n+1)×[10^(n-1) -1]/(10-1) +7×10^(2n)
=[8×10ⁿ-80+18×10ⁿ+10^(2n) -10×10ⁿ+63×10^(2n)+81]/9
=[64×10^(2n)+16×10ⁿ+1]/9
=(8×10ⁿ+1)²/9
=[(8×10ⁿ+1)/3]²
对于8×10ⁿ+1,各位数字之和=8+1=9,能被3整除,因此8×10ⁿ+1能被3整除,(8×10ⁿ+1)/3是整数.
711.1288.89=[(8×10ⁿ+1)/3]²
711.1288.89是完全平方数.