已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是．

Question

已知n为正整数，且4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数，则n的一个值是______．

Answer 1

（1）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁹⁹⁸）²
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．
∴2^2n-8=2¹⁹⁹⁸
即2n-8=1998．
∴当n=1003时，4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是完全平方数；
（2）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸=4⁷+4¹⁹⁹⁸+4ⁿ，
=（2⁷）²+2•2⁷•2³⁹⁸⁸+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．
∴2³⁹⁸⁸=2ⁿ，
∴n=3988．
综上得n=1003或n=3988．