现在数学系学的微分几何、代数几何等等知识,实际并不是几何知识,而是用图形法研究代数的理论.微分几何、代数几何等等这些知识实际上并不是几何的知识,而是用解析几何法研究代数的理

Question

现在数学系学的微分几何、代数几何等等知识,实际并不是几何知识,而是用图形法研究代数的理论.
微分几何、代数几何等等这些知识实际上并不是几何的知识,而是用解析几何法研究代数的理论,实际它们还是代数知识、微积分知识,只不过是在用图形解析法研究而已.
若论纯粹几何学,要谈的是《希尔伯特几何基础》,这本书弥补了流传了两千年的欧几里德著作《几何原本》中诸多证明中的纰漏,删除了没意义的定义,增加了缺失的公理组.
可以说目前几何学的顶峰作品就是《希尔伯特几何基础》.黎曼集合罗氏几何也在它的公理框架中.
《希尔伯特几何基础》公理及定理证明部分我都已拜读完。数学系四年学的实际只有微积分与代数。

Answer 1

我觉得只是描述同一物体的语言不同吧.希尔伯特为古典几何画上了个圆满的句号,那是用几条公理和几个代表点、直线等概念的元素为基本出发点,在此之上做出的一系列逻辑推理.解析几何开始,比如用有序的实数来描述直线这个直观概念,都只是些更精细化的模型罢了.真正的几何形象,只存在于我们的大脑里,但那不是数学,永远只是直观.数学是纯逻辑的.任何我们用视觉、听觉、触觉、味觉、嗅觉感受到的一切都不是数学,都只是直观.当你在纸上画出两条貌似平行的直线时,你永远不能肯定的说它们就是平行,因为平行的概念是在数学中的,现实中不它没有意义.希尔伯特也说过,他的定义里的直线、点等概念,也可以换成钢笔帽、茶几之类的其他名词.所以说几何形象本身是什么不重要了,反正一开始本就是研究纯粹抽象的概念.这么看来,现代数学意义下的几何,不必深究到底什么才是几何,因为根本没啥意义.只是个名衔罢了.
几何是从直观中抽象出的抽象概念,只是它在现实中有原型罢了.但那原型不能代表数学意义上的几何.发过来说,同一种直观概念,使用不同的抽象方式,得到的就是不同的几何体系.
古典的几何里抽象的层次相对比较低,因此和直观的距离不远,因此容易让人产生美感.你喜欢的是这个吧.但是另一方面来说,数学就是为了超越直观才有存在意义的,就是因为人的直观有时候力所不及,这才需要抽血与逻辑推导,来走的更远.所以说当你用逻辑推导得到直观难以得出的结论时,那才是体现数学价值的时候.
所以说,如果你是为了在美学的目的,那就看古典几何吧.如果是为了在数学之路上走的更远,那还是应该多看看其它的分支.老看古典的东西没前途.
如果是大学的话,看看简单的拓扑好了.我觉得那个比传统的刚性几何有意思.