几何证明题证明：曲面xyz=a的3次方（a大于0）在任何点的切平面与三个坐标平面所构成的四面体体积为一个常数.

Question

几何证明题
证明：曲面xyz=a的3次方（a大于0）在任何点的切平面与三个坐标平面所构成的四面体体积为一个常数.

Answer 1

记 F=xyz-a 则Fx(F 对 x的偏导)=yz Fy=xz Fz=xy
所以以 z 为x ,y 的函数 即z(x,y) 则有
Zx(z对x的偏导) =-(Fx/Fz)=-z/x
Zy=-(Fy/Fz)=-z/y
在曲面xyz=a的3次方上任取一点 (x0,y0,z0) 则x0y0z0=a^3
切平面为 z-z0=Zx(x-x0)+Zy(y-y0)=-z0/x0*(x-x0)-z0/y0*(y-y0)
令 x=0 y=0 解得 z=3z0
令 y=0 z=0 解得 x=3x0 令 x=0 z=0 解得 y=3y0
此三点即切平面与坐标轴的交点,所以体积为1/3(3x0)(3y0)(3z0)=9x0y0z0
=9a^3