如图，在几何体ABCDEF中，等腰梯形ABCD所在的平面与正方形CDEF所在的平面互相垂直，已知AB∥CD，AB=2BC=4，∠ABC=60°，点M是线段AC的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥AD；（Ⅱ）求证：ME∥平面BCF；（Ⅲ

Question

如图，在几何体ABCDEF中，等腰梯形ABCD所在的平面与正方形CDEF所在的平面互相垂直，已知AB∥CD，AB=2BC=4，∠ABC=60°，点M是线段AC的中点．

（Ⅰ）求证：CF⊥AD；
（Ⅱ）求证：ME∥平面BCF；
（Ⅲ）对于线段EF上的任意一点G，是否总有平面ACG⊥平面BCF，并说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由正方形CDEF，得CF⊥CD，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，
∴CF⊥平面ABCD，
又∵AD⊂平面ABCD，∴CF⊥AD．
（Ⅱ）如图，取BC中点N，连结MN、NF，
则MN∥AB，且MN=(1)/(2)AB=2，
又∵EF∥CD，CD∥AB，∴EF∥MN，
∵AB=2BC=4，∠ABC=60°，
∴CD=2，∴EF=MN，
∴四边形EFNM是平行四边形，∴ME∥FN，
又∵ME⊄平面EFNM，FN⊂平面BCF，
∴ME∥平面BCF．
（Ⅲ）对于线段EF上的任意一点G，总有平面ACG⊥平面BCF．
理由如下：
∵AB=2BC=4，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=16+4-2×4×2×cos60°=12，
∴AC=2√(3)，∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥BC，
由（Ⅰ）知CF⊥平面ABCD，
∵AC⊂平面ABCD，∴CF⊥AC，
∵CF∩BC=C，且CF，BC⊂平面BCF，
∴AC⊥平面BCF，
又∵AC⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BCF，
∴对于线段EF上的任意一点G，总有平面ACG⊥平面BCF．