高一立体几何较难已知定线段AB垂直平面αl是平面α内不过B的一条定直线,过AB的两个平面βγ互相垂直,且分别与l交于点MN（如图）,求证（1）△AMN的垂心是定点图插入不了...应该可以做.

Question

高一立体几何 较难
已知定线段AB垂直平面α l是平面α内不过B的一条定直线,过AB的两个平面β γ 互相垂直,且分别与l交于点M N（如图）,求证
（1）△AMN的垂心是定点
图插入不了...应该可以做...
二楼 解得很好 不过 字母 有点错误 重写一遍...
解：
证明：连接AC，AM，AN，过B作BC⊥l，BD⊥AM，连接DN交AC于E，连接BE
则AB，MB，NB两两垂直，E是△AMN的垂心
∴三个面ABM，ABN，MNB两两垂直
∴BD，BC分别是DN和AC在平面AMB和AMN内的射影
∵BC⊥l，BD⊥AM
∴AC⊥l，ND⊥AM
∴MN⊥平面ABC，AM⊥平面BDN
∵平面AMB∩平面AMB=BE
∴BE⊥AM，BE⊥MN
∴BE⊥平面AMN
∵AC在平面AMN内
∴BE⊥AC
∴BE是Rt△ABC斜边AC上的高
∵l为定直线，AB为定线段
∴AB到l的距离BC为定长
∴AC为定长
又∵Rt△ABE∽Rt△ACB
∴AB²=AE·AC
∴AE为定值
即△AMN的点为定点

Answer 1

证明：连接AC,AM,AN,过B作BC⊥l,BD⊥AM,连接DN交AC于E,连接BE
则AB,MB,NB两两垂直,E是△AMN的垂心
∴三个面ABM,ABN,MNB两两垂直
∴BD,BC分别是DN和AC在平面AMB和AMN内的射影
∵BC⊥l,BD⊥AM
∴AC⊥l,ND⊥AM
∴AM⊥平面AMB,MN⊥平面AMB
∵平面AMB∩平面AMB=BE
∴BE⊥AM,BE⊥MN
∴BE⊥平面AMN
∵AC在平面AMN内
∴BE⊥AC
∴BE是Rt△ABC斜边AC上的高
∵l为定直线,AB为定线段
∴AB到l的距离BC为定长
∴AC为定长
又∵Rt△ABE∽Rt△ACB
∴AB²=AE·AC
∴AE为定值
即△AMN的点为定点