高数困惑x*ln(1+X)前将ln(1+X)展开,再将多项式乘x与直接将整体展开的结果(不包括余项)为何是相同的?

Question

高数困惑
x*ln(1+X)
前将ln(1+X)展开,再将多项式乘x
与直接将整体展开的结果(不包括余项)为何是相同的?

Answer 1

㏑（1+x）＝x-x²/2+x³/3-……+（-1）^（n-1）x^n/n+……（-1＜x≤1）
Sn＝x-x²/2+x³/3-……+（-1）^（n-1）x^n/n
㏑（1+x）＝lim[n→∞]Sn 以下x看成（-1,1]中取定的数.
x㏑（1+x）＝xlim[n→∞]Sn＝lim[n→∞]xSn （Sn是有限项的和）
＝lim[n→∞]｛x[x-x²/2+x³/3-……+（-1）^（n-1）x^n/n]｝
＝x²-x³/2+……+（-1）^（n-1）x^（n+1）/n+……
这是一个收敛的马克劳林级数.而一个函数的马克劳林级数是唯一的,
所以它就是x㏑（1+x）的马克劳林级数.