大学微积分无穷小的性质无穷小与有界变量的积仍为无穷小证明看不懂帮忙解释下

Question

大学微积分
无穷小的性质 无穷小与有界变量的积仍为无穷小 证明看不懂帮忙解释下

Answer 1

1、无穷小的概念：
无穷小不是一个很小的数的概念，而是一个过程的概念；
是指一个变量越来越小，无止境地、无限地、无穷地、没完没了地小下去的过程；
趋向于0的过程是不可以中止的，小下去的过程中，要多小有多小，永远没有最小；
它是趋向于0，不是等于0；如果是等于0，就没有必要计算，直接代入计算就行了；
出现无穷小的情况，通常发生在比值计算上，也就是分母可能为，但是比值不为0；
无穷小可以是从负的方向趋向于0，也可以从正的方向趋向于0；
也可以一会儿正，一会儿负，但是绝对值却是一直小下去，越来越趋近于0。

2、有界的概念：
有界是指，有一个限度，或是一个幅度，或是一范围，函数值超不出这个范围；
例如正弦函数、余弦函数，超不出正负1的范围，它们就是有界函数；
譬如任何椭圆、圆、众多的轨迹方程，它们都有界，函数的范围都有一个限制；
自变量的范围是定义域，是domain，函数的范围是值域，是range。

3、有界函数乘以无穷小的情况：
因为是两个函数的乘积，譬如AB，A有限制，不得大于多少，也不得小于多少，
而B却可以越来越小，越来越趋向于0，因为A的值是有限的大，而B却可以无限
地小下去，乘积的结果也就不可避免地无止境地小下去；
这个小下去的过程中，可能会有起伏，但是整体趋势是无止境地小下去，趋于0；
在一个个小区间内，会有上升的情况，若楼主动阻尼运动，就是一个最好的例子；
所以，我们说，有界函数乘以无穷小，结果仍为无穷小。

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