重积分变量替换问题已知f(x,y)x(u,v)y(u,v),变量替换计算二重积分,重积分变量替换中用的方法是用du和dv推dx和dy,最后算出雅可比行列式是变量替换的伸缩量.问题:1.为何不从dx和dy推du和dv,用那

Question

重积分变量替换问题
已知f(x,y) x(u,v) y(u,v),变量替换计算二重积分,重积分变量替换中用的方法是用du和dv推dx和dy,最后算出雅可比行列式是变量替换的伸缩量.
问题:1.为何不从dx和dy推du和dv,用那个近似公式
2.是否可以用问题一中的方法?

Answer 1

不太明白你的意思，下面是一种证明，不知道是不是你想要的，如果不是，你就给我留言吧，我看到后会给你回复的。
对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。利用中值定理可知：
(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，
dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。
所以两边同时乘以f(x,y),再积分，就是二重积分变量替换公式。