根号下（x的平方-a的平方）/x的平方的不定积分,a大于零,

Question

根号下（x的平方-a的平方）/x的平方的不定积分,a大于零,

Answer 1

令x = a * secz,dx = a * secztanz dz,假如x > a > 0
√(x² - a²) = a * tanz
∫ √(x² - a²)/x² dx
= ∫ (a * tanz)/(a² * sec²z) * (a * secztanz) dz
= ∫ sin²z/cosz dz
= ∫ (1 - cos²z)/cosz dz
= ∫ secz dz - ∫ cosz dz
= ln|secz + tanz| - sinz + C
= ln|x/a + √(x² - a²)/a| - √(x² - a²)/x + C
= ln|x + √(x² - a²)| - √(x² - a²)/x + C