在水平放置的洁净的玻璃板上一些水银，由于重力与表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状（侧面向外突出），过圆饼轴线的竖直截面如图所示．为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180

Question

在水平放置的洁净的玻璃板上一些水银，由于重力与表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状（侧面向外突出），过圆饼轴线的竖直截面如图所示．为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算．已知水银的密度ρ=13.6×10³kg/m³，水银的表面张力系数σ=0.49N/m．当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h的数值大约是多少？（取1位有效数字即可）

Answer 1

在圆饼侧面处，取宽x、高h的面积元△S，由于重力使水银对△S的侧压力为：
 F＝

.

P

S＝(1)/(2)ρgh•hx=(1)/(2)ρgh2x，①
由于压力F使圆饼侧面向外凸出，因而使侧面积增大．但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势．上下两层表面张力F₁、F₂合力的水平分力是指向水银内部的，其方向与F的方向相反．设上表面处的表面张力F₁与水平方向成θ角，则f′的大小为：
f′=F₂+F₁cosθ=σx+σxcosθ，②
当水银的形状稳定时，f′=F．由于圆饼半径很大，△S两侧的表面张力F₃，F₄可认为方向相反而抵消，因而：
(1+cosθ)σx＝(1)/(2)ρgh2x，③
可得：
h＝√((2σ(1+cosθ))/(ρg))＝0.0027√(1+cosθ)，④
由于θ的实际数值一定大于0、小于(π)/(2)，所以1＜√(1+cosθ＜√(2))，
④式中h的取值范围是：
2.7m×10^-3＜h＜3.78×10^-3m
所以水银层厚度的估算值可取3×10^-3m或4×10^-3m．
答：水银层厚度约为3×10^-3m或4×10^-3m．