如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面为正三角形且侧棱与底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分别为BB1，CC1的中点．（Ⅰ）求多面体ABC-A1PC1的体积；（Ⅱ）求A1Q与BC1所成角的大小．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（注：底面为正三角形且侧棱与底面垂直），BC=CC₁=2，P，Q分别为BB₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求多面体ABC-A₁PC₁的体积；
（Ⅱ）求A₁Q与BC₁所成角的大小．

Answer 1

（I）∵P为BB₁的中点，∴PB₁=1，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
VP−A1B1C1=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)×1=(√(3))/(3)，
V_三棱柱=(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)×2=2√(3)，
∴多面体ABC-A₁PC₁的体积V=2√(3)-(√(3))/(3)=

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作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（I）要求多面体ABC-A₁PC₁的体积为三棱柱的体积减去三棱锥P-A₁B₁C₁的体积，分别求出棱柱与棱锥的体积，求差；
（II）取BC的中点M，连接MQ，可证∠MQA₁为异面直线所成的角，在△MQA₁中，分别求出三边长，利用余弦定理或勾股定理求角．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查了几何法求异面直线所成的角，考查了用间接法求几何体的体积，体现了空间几何问题转化为平面几何问题这一基本解题思路．

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