在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=12DP．（1）求证：PQ⊥平面DCQ；（2）求二面角B-CQ-P的大小．

Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=(1)/(2)DP．
（1）求证：PQ⊥平面DCQ；
（2）求二面角B-CQ-P的大小．

Answer 1

（1）证明：因为AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，所以DA，DP，DC两两垂直．以D为原点，
DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设AB=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．…（1分）

DC

=（0，0，1），

DQ

＝(1，1，0)，

PQ

＝(1，−1，0)，

DC

•

PQ

=0，

DQ

•

PQ

＝0，
故DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，所以PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）

BC

＝(−1，0，0)，

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

（1）以D为原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能证明PQ⊥平面DCQ．
（2）分别求出面BCQ的一个法向量和平面PCQ的一个法向量，由此能求出二面角B-CQ-P的大小．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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