（2011•盐城二模）在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求该多面体的体积．

Question

（2011•盐城二模）在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥AD，
又∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，
∵BB₁，BC⊂平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（5分）
∵AD⊂平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（7分）
（Ⅱ）∵正三角形ABC边长为2，可得S_△ABC=(√(3))/(4)×2²=√(3)，三棱柱的高AA₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V1＝S△ABC×AA1＝2√(3)…（10分）
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，可得四棱锥D-B₁C₁CB的高在AD上且等于AD的(1)/(2)
∴四棱锥D-B₁C₁CB的体积为V2＝(1)/(3)SBCC1B1×((1)/(2)AD)＝(4√(3))/(3)…（13分）
所以该多面体的体积为V＝V1+V2＝(10√(3))/(3)…（14分）