一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分别为AE，CE中点．（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？（2）求证：GH∥平面ACF；（3）当平面ACE⊥平面

Question

一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分别为AE，CE中点．
（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？
（2）求证：GH∥平面ACF；
（3）当平面ACE⊥平面ACF时，求DE的长．

Answer 1

（1）是7多面体；                    （4分）
（2）证明：如图，连接AC，在△ACE中，
∵G，H分别为AE，CE中点，∴GH∥AC（6分）
又AC⊂平面ACF，且GH⊄平面ACF，（8分）
所以GH∥平面ACF； （9分）
（3）如图，连接DB，交AC于O，连接EO，FO，
∵ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，
∵EO⊂平面ACE，AC⊂平面ACF，AC∩OF=O，
∴只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，（10分）
设DE的长为x，在Rt△ODE中，OE2＝x2+(1)/(2)a2，
在Rt△OBF中，OF2＝a2+(1)/(2)a2＝(3)/(2)a2，EF²=2a²+（x-a）²EF²=OE²+OF²，解得x＝(1)/(2)a
即平面ACE⊥平面ACF时，DE的长为(1)/(2)a（15分）
（如求二面角E-AC-E的平面角也可相应得分，但不提倡）