如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积（直接写结果）．

Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：DE=DF；
（2）请说明：BE²+CF²=EF²；
（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积（直接写结果）．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C=∠B=45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中

∠B=∠DAF

BD=AD

∠BDE=∠ADF

，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF．
（2）证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE=AF，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△ADE和△CDF中

∠EDA=∠FDC

∠EAD=∠C

DE=DF

，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴EF²=AE²+AF²=BE²+CF²，
即BE²+CF²=EF²．
（3） EF²=BE²+CF²=100，
∴EF=10，
根据勾股定理DE=DF=5√(2)，
△DEF的面积是(1)/(2)DE×DF=(1)/(2)×5√(2)×5√(2)=25．
答：△DEF的面积是25．