立体几何难题三棱锥O-ABC,E,F,G分别是OA,OB,OC上的点且OE：EA=OF：FB=OG：GC=2：1,求平面BCE与平面CAF与平面ABG的交点H到面ABC的距离与O到面ABC的距离比我想知道怎么证明!也就是一般情况为什么符合!

Question

立体几何 难题
三棱锥O-ABC,E,F,G分别是OA,OB,OC上的点且OE：EA=OF：FB=OG：GC=2：1,求平面BCE与平面CAF与平面ABG的交点H到面ABC的距离与O到面ABC的距离比
我想知道怎么证明!也就是一般情况为什么符合!特殊的我用空间向量做出来了!谢
错的

Answer 1

设BG与FC,CE与AG的交点分别为M、N
则直线AM为平面CAF与平面ABG的交线
直线BF为平面BCE与与平面ABG的交线
AM交BF点即为所求点H,连接OM交BC于P点
因OE：EA=OF：FB=OG：GC=a（不一定要2：1）
所以FG‖BC
则OF/OB=FG/BC=GM/MB=a/(1+a)
同理GF/FA=OG/OC=a/(1+a)
则GF/FA=GM/MB=a/(1+a)=>GF/GA=GM/GB=a/(1+2a)
则FM‖AB
则FM/AB=MH/HA=GF/GA=a/(1+2a)
=>AM/AH=(1+3a)/(1+2a)
设OP交FG与Q点
则QM/MP=GM/MB=a/(1+a)
=>QP/MP=(1+2a)/(1+a)
又QP/OP=BF/OB=1/(1+a)
则OP=MP*(1+2a)
延长OH交AP于O'
过H做HH'‖AP交OP于H'
则HO'/OO'=PH'/PO,PH'/PM=AH/AM
=>HO'/OO'=(PM/PO)(AH/AM)
=[1/(1+2a)]*[(1+2a)/(1+3a)]
=(1+3a)
故求平面BCE与平面CAF与平面ABG的交点H到面ABC的距离与O到面ABC的距离比=1/(1+3a)
当a=2时,距离比=1/7
当a=1时才为1/4
sorry,由于电脑打字错了一字母.晕