若地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点,且这两点间的球面距离为π/6,则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（）

Question

若地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点,且这两点间的球面距离为π/6,则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 （ ）

Answer 1

条件应该是：这两点间的球面距离为πR/6
设球心为O,取AB的中点M,
显然AB平行于赤道所在平面,设AB到赤道的距离为h,
则所求二面角的正弦值为h/OM,余弦值为√(OM^2-h^2)/OM
h=Rsin45°=(√2)R/2
∠AOB=πR/6/(2πR)*360°=30°
AB^2=AO^2+BO^2-2cos∠AOB*AO*BO
=2R^2-2*√3/2*R^2
=(2-√3)R^2
AM^2=AB^2/4=(2-√3)R^2/4
OM^2=AO^2-AM^2
=R^2-(2-√3)R^2/4
=(2+√3)R^2/4
=(3+2√3+1)R^2/8
OM=√2/4*(√3+1)R
所求二面角的余弦值为
√(OM^2-h^2)/OM
=√((2+√3)R^2/4-R^2/2)/(√2/4*(√3+1)R)
=四次根号3*R/2/(√2/4*(√3+1)R)
=√2*四次根号3/(√3+1)
=四次根号3*(√6-√2)/2
不知道算错没有