如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大

Question

如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R．该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，第五次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．
（1）画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图；
（2）求出电场强度E的大小；
（3）求该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径r；
（4）求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t．

Answer 1

（1）粒子的运动轨迹如图．
（2）由几何关系得

.

oc

＝2√(2)R．
粒子从c到o做类平抛运动，且在垂直、平行电场方向上的位移相等，都为s_⊥=s_∥=

.

oc

sin45°＝2R
类平抛运动时间为  t3＝(2⊥)/(v)＝(2R)/(v)
又 s_∥=(1)/(2)a

t

2 3

＝(qE)/(2m)

t

2 3

又 R＝(mv)/(qB)
联立得E=vB
（3）粒子在电场中的加速度为a＝(qE)/(m)＝(qvB)/(m)
v₂=at₃=(qvB)/(m)•(2R)/(v)=2v，v₁=v
粒子第五次过MN进入磁场后的速度为 v′＝√(v21+v22)＝√(5)v
则第五次过MN进入磁场后的圆弧半径为 R′＝(mv′)/(qB)＝√(5)R
（4）由图知，粒子在磁场中运动的圆心角之和为2π，则粒子在磁场中运动的总时间为等于一个周期，即为  t1＝(2πR)/(v)
粒子做直线运动所需时间为 t2＝(2v)/(a)＝(2mv)/(qvB)＝(2R)/(v)
联立得：粒子从出发到第五次到达O点所需时间为t＝t1+t2+t3＝(2R)/(v)(2+π)
答：（1）画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图如图；
（2）电场强度E的大小是vB；
（3）该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径是√(5)R；
（4）求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t是(2R)/(v)(2+π)．