设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP，曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、．(Ⅰ)当时，求点P的坐标；(Ⅱ)当有最小值时，求点P的坐标和最小值．

Question

设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP，曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、． (Ⅰ)当时，求点P的坐标； (Ⅱ)当有最小值时，求点P的坐标和最小值． ____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S₁为直线OP与曲线y=x^2\n当x∈(0，t)时所围面积，所以，S₁=∫₀^t(tx-x²)dx，为直线OP与曲线y=x²当x∈(t，2)时所围面积，所以，\nS₂=∫_t²(x²-tx)dx，再根据S₁=S₂就可求出t值．\n(Ⅱ)由(Ⅰ)可求当S₁+S₂，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S₁+S₂有最小值．

(Ⅰ)设点P的横坐标为t(0<t<2)，则P点的坐标为(t，t2)，\n直线OP的方程为y=tx\nS₁=∫₀^t(tx-x²)dx=，S₂=∫_t²(x²-tx)dx=，\n因为S₁=S₂，，所以t=，点P的坐标为(，)\nS=S₁+S₂==\nS'=t²-2，令S'=0得t²-2=0，t=\n因为0<t<时，S'<0；<t<2时，S'>0\n所以，当t=时，S_min=，P点的坐标为(，2)．

【点评】本题考察了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．