如图所示，坐标系xoy平面内的坐标原点O处有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内．在直线x=a与x=2a之间存在垂直xoy

Question

如图所示，坐标系xoy平面内的坐标原点O处有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内．在直线x=a与x=2a之间存在垂直xoy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，已知从坐标点D（a，(√(3))/(3)a）入射到磁场中的粒子垂直磁场边界射出，不计粒子的重力．求：

（1）从D点入射的粒子在磁场中运动的时间；
（2）粒子的速率；
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的运动时间．

Answer 1

（1）作图，粒子从D点射入时，其轨迹的圆心在O₁处，从E点垂直磁场右边界射出，
  tan∠DOX=((√(3)a)/(3))/(a)
可得：∠DOX=30°，则∠DO₁E=30°
从D点入射的粒子在磁场中运动的时间 t=(30°)/(360°)•(2πm)/(Bq)=(πm)/(6Bq)
（2）由三角形知识可得：R＝(a)/(sin300)＝2a
由牛顿第二定律可得：qvB＝m(v2)/(R)
可解得：v＝(2aqB)/(m)
（3）因粒子速率恒定，粒子在磁场中运动的轨迹越长时，时间越长，即当运动轨迹与右边界相切后从磁场的左边界射出时，运动轨迹最长，时间最长．由几何关系可知，
∠FO₂G=60°
则圆弧对应的圆心角为120°，则最长时间 tm＝(1200)/(3600)•(2πm)/(Bq)=(2πm)/(3Bq)
答：（1）从D点入射的粒子在磁场中运动的时间为(πm)/(6Bq)；（2）粒子的速率为(2aqB)/(m)；（3）在磁场中运动时间最长的粒子的运动时间为(2πm)/(3Bq)．