已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与双曲线C2：x2m2-y2n2=1（m>0，n>0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+e222的最小值为

Question

已知椭圆C₁：

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）与双曲线C₂：(x2)/(m2)-(y2)/(n2)=1（m>0，n>0）有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分别是两曲线C₁，C₂的离心率，则2e₁²+(e22)/(2)的最小值为（　　）

A. 1

B.

(9)/(4)

C. 4

D.

(9)/(2)

Answer 1

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m，①
由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²，④
将④代入③，得a²+m²=2c²，
∴2e₁²+(e22)/(2)=(5)/(4)+(m2)/(a2)+(a2)/(4m2)≥(5)/(4)+1=(9)/(4)．
故选：B．