如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=2，CE=2，F为BC的中点．（1）求证：平面BED⊥平面BCE；（2）求凸多面体ABCED的体积．

Question

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=√(2)，CE=2，F为BC的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面BCE；
（2）求凸多面体ABCED的体积．

Answer 1

（1）取BE的中点G，连结DG、FG，
∵AB=AC=1，F为BC的中点，∴AF⊥BC．
∵GF是△BCE的中位线，∴EC∥GF，
∵EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又∵AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，∴DG⊥平面BCE．
又∵DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE；
（2）∵AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴四边形ACED为直角梯形；
∵EC⊂平面ACDE，EC⊥平面ABC，∴平面ACDE⊥平面ABC，
∵AC²+AB²=2=BC²，∴∠BAC=90°，可得AB⊥AC，
∵AB⊂平面ABC，平面ACDE∩平面ABC，
∴AB⊥平面ACDE，可得AB为四棱锥B-ACED的高．
由此可得V_B-ACED=(1)/(3)×SABCD×AB=(1)/(3)×(1)/(2)×（1+2）×1×1=(1)/(2)，即凸多面体ABCED的体积为(1)/(2)．