附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设AD＝λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，求λ的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的余弦值．

Question

附加题（必做题）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设

AD

＝λ

AB

，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为(9)/(25)，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

（1）以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，
因为AC=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以

AC1

＝(−3，0，4)，因为

AD

＝λ

AB

，
所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以

CD

＝(−3λ+3，4λ，0)，
因为异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为(9)/(25)，
所以　|cos＜

AC1

，

CD

＞|＝(|9λ−9|)/(5√((3−3λ)2+16λ2))＝(9)/(25)，解得λ＝(1)/(2)．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因为 D是AB的中点，所以D((3)/(2)，2，0)，
所以

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量

AD

，

AB

的坐标，结合

AD

＝λ

AB

，以及异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为(9)/(25)，得到关于λ的等式，即可求出结论．
（2）先求两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可求出结论．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．

考点点评：

本题主要考察利用空间向量求平面间的夹角．解决这类题目的关键在于求两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式．

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