如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点．（1）求二面角O1-BC-D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离．

Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点．
（1）求二面角O₁-BC-D的大小；
（2）求点E到平面O₁BC的距离．

Answer 1

证明：（I）过O作OF⊥BC于F，连接O₁F，
∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角，…（3分）
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=√(3)．
在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=(OO1)/(OF)＝(3)/(√(3))＝√(3)，
∴∠O₁FO=60°即二面角O₁-BC-D为60°…（6分）
（II）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，∴OE∥O₁C
∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F．
过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距
离，…（9分）

点E到面O₁BC的距离等于OH，sin60°＝(OH)/(OF)＝(OH)/(√(3))
∴OH=(3)/(2)．∴点E到面O₁BC的距离等于(3)/(2)．…（12分）
法二：（I）在正方体中，有OO₁⊥平面AC，∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2√(3)，OB=2
则A（2√(3)，0，0），B（