如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120∘，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二

Question

如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120^∘，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）直线AB与平面DEF平行．理由如下：
在翻折后，∵E，F仍然为AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
又EF⊂平面DEF，AB不包含于平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角．
设CD=a，则AC=BC=2a，AD=DB=√(3)a，
在△DFC中，设底边DF上的高为h
由S_△DFC=(1)/(2)√(3)a•a•(1)/(2)=(1)/(2)•(1)/(2)•2a•h，
∴h=(√(3))/(2)a
在Rt△EMN中，EM=(1)/(2)AD=(√(3))/(2)a，MN=(1)/(2)h=(√(3))/(4)a，
∴tan∠MNE=2，
从而cos∠MNE=

作业帮用户 2016-12-03

问题解析

（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，从而可证AB∥平面DEF．
（Ⅱ）取CD的点M，使EM∥AD，过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，从而可得∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，进而可得tan∠MNE=2，从而可得二面角E-DF-C的余弦值．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；空间中直线与平面之间的位置关系．

考点点评：

本题线面平行，考查面面角，考查存在性问题，解题的关键是利用线面平行的判定，确定面面角，同时注意向量方法的运用．

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