（2012•台州一模）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝43，BD=2，AC=4，点E在线段PC上．（Ⅰ）当点E为线段PC的中点时，求证：BE⊥AC；（Ⅱ）若二面角B-EA-D为直二面角，求

Question

（2012•台州一模）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝4√(3)，BD=2，AC=4，点E在线段PC上．
（Ⅰ）当点E为线段PC的中点时，求证：BE⊥AC；
（Ⅱ）若二面角B-EA-D为直二面角，求直线BE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设AC与BD交于点O，则O为AC，BD的中点，
因为点E为线段PC的中点，所以EO∥PA..…（1分）
又PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
所以AC⊥EO．…（3分）
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，BD∩EO=O，
所以AC⊥平面BED，…（5分）
因为BE⊆平面BED，所以BE⊥AC．        …（6分）
（Ⅱ）解法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（-2，0，0），B（0，-1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P(−2，0，4√(3))，
所以

AD

＝(2，1，0)，

AB

＝(2，−1，0)．
设

PE

＝λ

PC

(0≤λ≤1)，
则

AE

＝

PE

−

PA

＝(4λ，0，4√(3)(1−λ))．
设平面AED的法向量

n1

为（x，y，z），
则

n1

•

AD

＝2x+y＝0

n1

•

AE

＝4λx+4√(3)(1−λ)z＝0

取x=1得y=-2，
所以平面AED的一个法向量

n1

为(1，−2，(λ)/((λ−1)√(3)))； …（8分）
同理平面ABE的一个法向量

n2

为(1，2，(λ)/((λ−1)√(3)))；    …（10分）
因为平面BEA⊥平面DEA，
所以

n1

•

n2

＝−3+(λ2)/(3(λ−1)2)＝0，
得λ＝(3)/(2)＞1（舍去），λ＝(3)/(4)∈(0，1)，…（12分）
所以

BE

＝

BP

+

PE

＝(1，1，√(3))．
又因为平面ABCD的一个法向量

n3

为（0，0，1），
所以cos＜

BE

，n3＞＝(√(3))/(√(5))，…（14分）
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为(√(6))/(2)．…（15分）
解法2：如图，在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足为F，连接DF，OF，
因为平面ABE⊥平面ADE，则BF⊥平面ADE，BF⊥FD．
因为OF=BO=DO=1，BD⊥AC，BD⊥PA，
所以BD⊥面PAC，面PAC⊥面ABC，BD⊥AE…（8分）
所以AE⊥平面BDF，所以OF⊥FA，
因为OA=2，所以∠FOA=60°，因为∠PCA=60°，
所以PC∥OF，CE⊥AE．…（10分）
所以CE＝(1)/(2)AC＝2，取线段CO的中点G，
则EG⊥AC，EG⊥面ABCD，
所以∠EBG就是直线BE与平面ABCD所成的角．…（12分）
因为CG=1，EG＝√(3)，BG＝√(2)，
所以tan∠EBG＝(√(6))/(2)．
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为(√(6))/(2)．…（15分）