关于正四面体的证明问题在正四面体A-BCD中,E、F分别为AB、CD边的中点,请证明：①异面直线AB、CD相互垂直②异面直线BC、EF夹角为45°.不要讲得模糊

Question

关于正四面体的证明问题
在正四面体A-BCD中,E、F分别为AB、CD边的中点,请证明：
①异面直线AB、CD相互垂直
②异面直线BC、EF夹角为45°.
不要讲得模糊

Answer 1

hello
如果你有学空间向量的话就只用计算就可以证明的了,不过估计你没学吧 刚上高一是吧 哈我高二
不说废话了
证明①异面直线AB、CD相互垂直
过A在面BCD作投影点A'
连接AA',BA'
由于是正四面体,延长CA'交CD于F点,即CD中点
BCD为正三角形
所以BF垂直于CD
又因为AA'垂直于平面BCD
所以CD垂直于AA'
所以CD垂直于平面ABF
所以AB和CD互相垂直
②异面直线BC、EF夹角为45°.
设AC的中点为G
连接EG,则EG平行于BC
连接GF
在三角形EFG中
EG=FG
由第一问同理可知,AD垂直于BC
且FG平行于AD
EG平行于BC
所以FG垂直于EG
所以三角形EFG为等腰直角三角形
所以EG和EF的夹角为45°
因为BC平行于EG
所以异面直线BC、EF夹角为45°.