如图，菱形ABCD中∠A=60°，过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，BF与DE相交于M．求证：（1）BD是BE和DF的比例中项；（2）BD是DM和DE的比例中项．

Question

如图，菱形ABCD中∠A=60°，过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，BF与DE相交于M．求证：

（1）BD是BE和DF的比例中项；
（2）BD是DM和DE的比例中项．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EBC=∠A=∠CDF，∠AEF=∠DCF，
∴△BCE∽△CDF，
∴(BE)/(CD)=(BC)/(DF)，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=BC=CD，
∴(BE)/(BD)=(BD)/(DF)，
∴BD²=BE•DF，
即BD是BE和DF的比例中项；

（2）∵(BE)/(BD)=(BD)/(DF)，
∵∠EBD=∠BDF=120°，
∴△DBE∽△FBD，
∴∠BED=∠FBD，
∵∠BDM=∠BDE，
∴△BDM∽△EBD，
∴(BD)/(DE)=(DM)/(BD)，
∴BD²=DE•DM，
即BD是DM和DE的比例中项．