四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB,求证：BE：DE=BC²：CD²

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四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB,
求证：BE：DE=BC²：CD²

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答案和解析

∵AC为AB、AD的比例中项
∴AB/AC=AC/AD
又∵AC平分∠DAB
∴ΔABC∽ΔACD
∴AB/AC=AC/AD=BC/CD
∴AB/AC*AC/AD=BC/CD*BC/CD
即：AB/AD=BC2/CD2
过D作DN垂直AC交于N,过B作BM垂直AC交于M
易证ΔADN∽ΔABM
所以AD/AB=DN/BM
又易证ΔDEN∽ΔBEM
所以DN/BM=DE/BE
即AD/AB=DE/BE
所以BE:DE=BC2:CD2

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