已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1与C2:x^2-y^2/4=1有公共焦点,C2的条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于AB两点,若C1恰好将线段AB三等分则求a,b

Question

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1与C2:x^2-y^2/4=1有公共焦点,C2的
条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于AB两点,若C1恰好将线段AB三等分则求a,b

Answer 1

已知椭圆C₁:x²/a²+y²/b²=1与C₂:x²-y²/4=1有公共焦点,C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于AB两点,若C₁恰好将线段AB三等分则求a,b.
C₂的参数：a=1,b=2,c=√5；C₁与C₂共焦点,故C₁的参数a,b满足等式：
a²-b²=5.(1);
设C₂的一条渐近线y=2x与以C₁的长轴为直径的圆x²+y²=a²相交于A、B两点,那么
∣AB∣=2a；
设直线y=2x与椭圆相交于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)两点.
将y=2x代入椭圆C₁的方程得：x²/a²+4x²/b²=1,即有(4a²+b²)x²-a²b²=0；
于是得x₁+x₂=0；x₁x₂=-a²b²/(4a²+b²)；
故∣MN∣=√{5[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√[20a²b²/(4a²+b²)]=(1/3)∣AB∣=2a/3；
两边平方去根号得20a²b²/(4a²+b²)=4a²/9；
化简得a²-11b²=0.(2)
(1)-(2)得10b²=5,故b²=1/2,a²=5+b²=5+1/2=11/2；即a=√(11/2),b=√(1/2)；